Математический анализ Примеры

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} θ + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $- 1$ для $θ$ .

$\frac{- 1 + 1}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1.1.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to - 1} - 2 θ^{2} - 6 θ - 4}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $- 1$ .

$\frac{0}{- lim_{θ \to - 1} 2 θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Этап 1.1.3.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{0}{- 2 lim_{θ \to - 1} θ^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $θ^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - lim_{θ \to - 1} 6 θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 4}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 {(lim_{θ \to - 1} θ)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $θ$ , подставив значение $- 1$ для $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.6.2

Найдем предел $θ$ , подставив значение $- 1$ для $θ$ .

$\frac{0}{- 2 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{- 2 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.7.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{0}{- 2 - 6 \cdot - 1 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.7.1.3

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 1 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{0}{- 2 + 6 - 4}$

Этап 1.1.3.7.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 1.1.3.7.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{θ \to - 1} \frac{θ + 1}{- 2 θ^{2} - 6 θ - 4} = lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ + 1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $θ + 1$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + \frac{d}{d θ} [1]}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $θ$ , производная $1$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2} - 6 θ - 4]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $- 2 θ^{2} - 6 θ - 4$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 2 θ^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $θ$ , производная $- 2 θ^{2}$ по $θ$ равна $- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 \frac{d}{d θ} [θ^{2}] + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 2 (2 θ) + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.7.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ + \frac{d}{d θ} [- 6 θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [- 6 θ]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $θ$ , производная $- 6 θ$ по $θ$ равна $- 6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.8.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + \frac{d}{d θ} [- 4]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 4$ является константой относительно $θ$ , производная $- 4$ относительно $θ$ равна $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6 + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $- 4 θ - 6$ и $0$ .

$lim_{θ \to - 1} \frac{1}{- 4 θ - 6}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $θ$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{θ \to - 1} 1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Этап 2.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $- 1$ .

$\frac{1}{lim_{θ \to - 1} - 4 θ - 6}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $θ$ к $- 1$ .

$\frac{1}{- lim_{θ \to - 1} 4 θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Этап 2.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $θ$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - lim_{θ \to - 1} 6}$

Этап 2.5

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $θ$ к $- 1$ .

$\frac{1}{- 4 lim_{θ \to - 1} θ - 1 \cdot 6}$

Этап 3

Найдем предел $θ$ , подставив значение $- 1$ для $θ$ .

$\frac{1}{- 4 \cdot - 1 - 1 \cdot 6}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4 - 1 \cdot 6}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{1}{4 - 6}$

Этап 4.1.3

Вычтем $6$ из $4$ .

$\frac{1}{- 2}$

Этап 4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$- 0.5$