Математический анализ Примеры

$y = \tan (7 x)$ , $y = 2 \sin (7 x)$ , $- \frac{π}{21} \leq x \leq \frac{π}{21}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$

Этап 1.2

Решим $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ на $\tan (7 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разделим каждый член $\tan (7 x) = 2 \sin (7 x)$ на $\tan (7 x)$ .

$\frac{\tan (7 x)}{\tan (7 x)} = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Этап 1.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (7 x)}{\tan (7 x)} = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Этап 1.2.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{2 \sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Этап 1.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\tan (7 x)}$

Этап 1.2.1.3.2

Выразим $\tan (7 x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (7 x)}{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}$

Этап 1.2.1.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (7 x) \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Этап 1.2.1.3.4

Запишем $\sin (7 x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (7 x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Этап 1.2.1.3.5

Сократим общий множитель $\sin (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (7 x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)})$

Этап 1.2.1.3.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{2}{1} \cos (7 x)$

Этап 1.2.1.3.6

Разделим $2$ на $1$ .

$1 = 2 \cos (7 x)$

Этап 1.2.2

Перепишем уравнение в виде $2 \cos (7 x) = 1$ .

$2 \cos (7 x) = 1$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $2 \cos (7 x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $2 \cos (7 x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \cos (7 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (7 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $\cos (7 x)$ на $1$ .

$\cos (7 x) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$7 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 1.2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$7 x = \frac{π}{3}$

Этап 1.2.6

Разделим каждый член $7 x = \frac{π}{3}$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Разделим каждый член $7 x = \frac{π}{3}$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Этап 1.2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Этап 1.2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{7}$

Этап 1.2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{7}$

Этап 1.2.6.3.2

Умножим $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 7}$

Этап 1.2.6.3.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$x = \frac{π}{21}$

Этап 1.2.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$7 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$7 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.8.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$7 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 1.2.8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 1.2.8.1.4

Умножим $3$ на $2$ .

$7 x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 1.2.8.1.5

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$7 x = \frac{5 π}{3}$

Этап 1.2.8.2

Разделим каждый член $7 x = \frac{5 π}{3}$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.1

Разделим каждый член $7 x = \frac{5 π}{3}$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Этап 1.2.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Этап 1.2.8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{7}$

Этап 1.2.8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{7}$

Этап 1.2.8.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{3}$ на $\frac{1}{7}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 7}$

Этап 1.2.8.2.3.2.2

Умножим $3$ на $7$ .

$x = \frac{5 π}{21}$

Этап 1.2.9

Найдем период $\cos (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.9.2

Заменим $b$ на $7$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 7 |}$

Этап 1.2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $7$ равно $7$ .

$\frac{2 π}{7}$

Этап 1.2.10

Период функции $\cos (7 x)$ равен $\frac{2 π}{7}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{7}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}, \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ , для любого целого $n$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ вместо $x$ .

$y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Этап 1.3.2

Подставим $\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ вместо $x$ в $y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Этап 1.3.2.2

Упростим $2 \sin (7 (\frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{21} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.3.2.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{7 (3)} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \sin (7 \frac{π}{7 \cdot 3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.3.2.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.3.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$ вместо $x$ .

$y = 2 \sin (7 (\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$

Этап 1.4.2

Упростим $2 \sin (7 (\frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{21} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{7 (3)} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \sin (7 \frac{5 π}{7 \cdot 3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 7 \frac{2 π n}{7})$

Этап 1.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Этап 1.5

Перечислим все решения.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{21} + \frac{2 π n}{7}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) d x - \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \tan (7 x) d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- \frac{π}{21}$ и $\frac{π}{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - (\tan (7 x)) d x$

Этап 3.2

Выразим $\tan (7 x)$ через синусы и косинусы.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} d x$

Этап 3.3

Переведем $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ в $\tan (7 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) - \tan (7 x) d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} 2 \sin (7 x) d x + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \sin (7 x) d x + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.6

Пусть $u_{1} = 7 x$ . Тогда $d u_{1} = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Пусть $u_{1} = 7 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.6.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 3.6.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 3.6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 (- \frac{π}{21})$

Этап 3.6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{21}$ в числитель.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{21}$

Этап 3.6.3.1.2

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 (3)}$

Этап 3.6.3.1.3

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 \cdot 3}$

Этап 3.6.3.1.4

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Этап 3.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Этап 3.6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{21}$

Этап 3.6.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 (3)}$

Этап 3.6.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 \cdot 3}$

Этап 3.6.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 3.6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 3.6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{7} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.7

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{7}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{7} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.8

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{7}$ и $2$ .

$\frac{2}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.10

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} - \tan (7 x) d x$

Этап 3.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{21}}^{\frac{π}{21}} \tan (7 x) d x$

Этап 3.12

Пусть $u_{2} = 7 x$ . Тогда $d u_{2} = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Пусть $u_{2} = 7 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.12.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 3.12.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 3.12.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 (- \frac{π}{21})$

Этап 3.12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{21}$ в числитель.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{21}$

Этап 3.12.3.1.2

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 (3)}$

Этап 3.12.3.1.3

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 7 \frac{- π}{7 \cdot 3}$

Этап 3.12.3.1.4

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

Этап 3.12.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

Этап 3.12.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{21}$

Этап 3.12.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.5.1

Вынесем множитель $7$ из $21$ .

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 (3)}$

Этап 3.12.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 7 \frac{π}{7 \cdot 3}$

Этап 3.12.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 3.12.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 3.12.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{7} d u_{2}$

Этап 3.13

Объединим $\tan (u_{2})$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{7} d u_{2}$

Этап 3.14

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{7} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

Этап 3.15

Интеграл $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{7} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{7} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Этап 3.16

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Найдем значение $- \cos (u_{1})$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{7} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

Этап 3.16.2

Найдем значение $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{7} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Этап 3.16.3

Избавимся от скобок.

$\frac{2}{7} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Этап 3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Этап 3.17.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

Этап 3.17.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{7} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

Этап 3.17.4

Объединим $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ и $\frac{1}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.5

Чтобы записать $\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{7}{7} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.6

Объединим $\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 7}{7} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 7 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.8

Объединим $7$ и $\frac{2}{7}$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.9

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{\frac{14}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.10

Сократим общий множитель $14$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.10.1

Вынесем множитель $7$ из $14$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.10.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.17.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.5

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.6.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.6.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{7}$

Этап 3.18.6.3

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{7}$

Этап 3.18.6.4

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{7}$

Этап 3.18.7

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{7}$

Этап 3.18.8

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - 0}{7}$

Этап 3.18.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{7}$

Этап 3.18.10

Сократим выражение $\frac{0 + 0}{7}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.18.10.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$\frac{7 (0) + 0}{7}$

Этап 3.18.10.2

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$\frac{7 \cdot 0 + 7 \cdot 0}{7}$

Этап 3.18.10.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \cdot 0 + 7 \cdot 0$ .

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7}$

Этап 3.18.10.4

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7 (1)}$

Этап 3.18.10.5

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot (0 + 0)}{7 \cdot 1}$

Этап 3.18.10.6

Перепишем это выражение.

$\frac{0 + 0}{1}$

Этап 3.18.11

Разделим $0 + 0$ на $1$ .

$0 + 0$

Этап 3.18.12

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 4