Математический анализ Примеры

$y = \cos (2 x - 6)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 6$ .

$- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x - 6)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x - 6)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - 6)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 6$ .

$- 2 (\cos (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $2 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) (2 + 0)$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 2 \cos (2 x - 6) \cdot 2$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x - 6)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \cos (2 x - 6)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - 6)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 6$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 6$ .

$- 4 (- \sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$4 (\sin (2 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x - 6])$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $2 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.3.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) (2 + 0)$

Этап 3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$4 \sin (2 x - 6) \cdot 2$

Этап 3.3.7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$f''' (x) = 8 \sin (2 x - 6)$