Математический анализ Примеры

$\frac{4}{3 \sqrt[5]{x^{3}}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}]$

Этап 2

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3 x^{\frac{3}{5}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}]$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}]$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Объединим $\frac{3}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}]$

Этап 3.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}]$

Этап 3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1})$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}})$

Этап 8.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}})$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}})$

Этап 10

Объединим $x^{- \frac{8}{5}}$ и $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4}{3} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5})$

Этап 11

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ .

$- \frac{4 (x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3)}{3 \cdot 5}$

Этап 12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{3 \cdot 5}$

Этап 12.2

Умножим $3$ на $5$ .

$- \frac{12 x^{- \frac{8}{5}}}{15}$

Этап 12.3

Перенесем $x^{- \frac{8}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{12}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Этап 13

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$- \frac{3 (4)}{15 x^{\frac{8}{5}}}$

Этап 14

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $3$ из $15 x^{\frac{8}{5}}$ .

$- \frac{3 (4)}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 4}{3 (5 x^{\frac{8}{5}})}$

Этап 14.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{5 x^{\frac{8}{5}}}$