Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Этап 3

Пусть $u = 2 x - 1$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 2 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 6.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 1$ .

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ .

$F (x) =$ ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + C$