Математический анализ Примеры

$x y = 8$ , $x = 1$ and $x = 5$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \frac{8}{x}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{x}$ .

$V = \frac{8^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$V = \frac{64}{x^{2}}$

Этап 3

Поскольку $64$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $64$ из-под знака интеграла.

$V = π (64 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $64$ влево от $π$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$V = 64 π \int_{1}^{5} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V = 64 π \int_{1}^{5} x^{- 2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$V = 64 π - x^{- 1}]_{1}^{5}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $5$ и в $1$ .

$V = 64 π ((- 5^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1^{- 1})$

Этап 6.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + 1)$

Этап 6.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$V = 64 π (- \frac{1}{5} + \frac{5}{5})$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = 64 π (\frac{- 1 + 5}{5})$

Этап 6.2.5

Добавим $- 1$ и $5$ .

$V = 64 π (\frac{4}{5})$

Этап 6.2.6

Объединим $\frac{4}{5}$ и $64$ .

$V = \frac{4 \cdot 64}{5} \cdot π$

Этап 6.2.7

Умножим $4$ на $64$ .

$V = \frac{256}{5} \cdot π$

Этап 6.2.8

Объединим $\frac{256}{5}$ и $π$ .

$V = \frac{256 π}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{256 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 160.84954386 \dots$

Этап 8