Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + \frac{2}{3} x^{- 3} + \frac{2}{3} x^{3} - x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{- 3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$6 x + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$6 x + \frac{2}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.3

Объединим $- 3$ и $\frac{2}{3}$ .

$6 x + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$6 x + \frac{- 6}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{- 6}{3}$ и $x^{- 4}$ .

$6 x + \frac{- 6 x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.6

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + \frac{- 6}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.7

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x + \frac{- 2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.4

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.5

Объединим $\frac{6}{3}$ и $x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x^{2}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.4.6.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{- 1}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} - - x^{- 2}$

Этап 1.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + 1 x^{- 2}$

Этап 1.5.4

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + x^{- 2}$

Этап 1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x - \frac{2}{x^{4}} + 2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.7

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 6 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$4 x + 6 + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 x + 6 - {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x + 6 - {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.4.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x + 6 - x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 x + 6 - 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x + 6 - 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.4.8

Вычтем $4$ из $1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{4}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 2.5.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{4}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 2.5.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 2.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 2.5.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} - 2 (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.5.8

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$4 x + 6 - 2 x^{- 3} + 8 x^{- 5}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 x^{- 5}$

Этап 2.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 6 - 2 \frac{1}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + 6 + \frac{- 2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2.6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + 8 \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2.6.3.3

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$4 x + 6 - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}}$

Этап 2.6.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$ .

$4 x - \frac{2}{x^{3}} + \frac{8}{x^{5}} + 6$