Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + 3$ , $[2, 8]$ , $n = 3$

Этап 1

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{2}^{8} 2 x + 3 d x - \int_{2}^{8} 3 d x$

Этап 2

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - (3) d x$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\int_{2}^{8} 2 x + 3 - 3 d x$

Этап 2.3

Объединим противоположные члены в $2 x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

$\int_{2}^{8} 2 x d x$

Этап 2.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{2}^{8} x d x$

Этап 2.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{8})$

Этап 2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{8})$

Этап 2.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $8$ и в $2$ .

$2 ((\frac{8^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$2 (\frac{64}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.2

Сократим общий множитель $64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{32}{1} - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.2.2.4

Разделим $32$ на $1$ .

$2 (32 - \frac{2^{2}}{2})$

Этап 2.6.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 (32 - \frac{4}{2})$

Этап 2.6.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 2.6.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 2.6.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (32 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 2.6.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (32 - \frac{2}{1})$

Этап 2.6.2.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 (32 - 1 \cdot 2)$

Этап 2.6.2.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (32 - 2)$

Этап 2.6.2.2.6

Вычтем $2$ из $32$ .

$2 \cdot 30$

Этап 2.6.2.2.7

Умножим $2$ на $30$ .

$60$

Этап 3