Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} (2 \sqrt{y} - y) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} - y d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{\frac{1}{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Этап 6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} y d y$

Этап 8

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $4$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.5

Умножим $2$ на $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.6

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.8.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.8.2

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.10

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.13

Добавим $\frac{16}{3}$ и $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.14

Объединим $2$ и $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.15

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.16

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.17

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.17.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.17.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.17.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.17.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 9.2.3.18

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Этап 9.2.3.19

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.19.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 9.2.3.19.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.19.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.19.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 9.2.3.19.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Этап 9.2.3.19.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Этап 9.2.3.20

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Этап 9.2.3.21

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Этап 9.2.3.22

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Этап 9.2.3.23

Чтобы записать $- 8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 9.2.3.24

Объединим $- 8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.26.1

Умножим $- 8$ на $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Этап 9.2.3.26.2

Вычтем $24$ из $32$ .

$\frac{8}{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{2}{3}$

Этап 11