Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{4 \sin^{2} (x) - 4} d x$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $4 \sin^{2} (x)$ и $- 4$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) + 4 \sin^{2} (x)} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $4 \sin^{2} (x)$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))} d x$

Этап 1.4

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 (1) - 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 (1 - \sin^{2} (x))} d x$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{3 \sin (2 x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\int \frac{3 \cdot 2 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\int \frac{6 \sin (x) \cos (x)}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $6$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{- 4 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \cos^{2} (x)$ .

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (3 \sin (x) \cos (x))}{2 (- 2 \cos^{2} (x))} d x$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $3 \sin (x) \cos (x)$ .

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{- 2 \cos^{2} (x)} d x$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\cos (x) (3 \sin (x))}{\cos (x) (- 2 \cos (x))} d x$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{3 \sin (x)}{- 2 \cos (x)} d x$

Этап 5

Разделим дроби.

$\int \frac{3}{- 2} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\int \frac{3}{- 2} \tan (x) d x$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{3}{2} \tan (x) d x$

Этап 7.2

Объединим $\tan (x)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\int - \frac{\tan (x) \cdot 3}{2} d x$

Этап 7.3

Перенесем $3$ влево от $\tan (x)$ .

$\int - \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3 \tan (x)}{2} d x$

Этап 9

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{3}{2} \int \tan (x) d x)$

Этап 10

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$- \frac{3}{2} (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$- \frac{3}{2} \ln (| \sec (x) |) + C$