Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 3}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 4.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{1 - 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{3}}}$

Этап 4.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 0}{1 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5

$\frac{1 - 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + 3 \cdot 0}$

Этап 6.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1}$

Этап 6.3

Разделим $1$ на $1$ .

$1$