Математический анализ Примеры

${(x^{2} + 1)}^{3}$

Этап 1

Запишем ${(x^{2} + 1)}^{3}$ в виде функции.

$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Этап 4

Развернем ${(x^{2} + 1)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 4.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 4.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 4.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3} d x$

Этап 4.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3} d x$

Этап 4.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2} d x$

Этап 4.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Этап 4.8

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 1 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Этап 4.9

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Этап 4.10

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot (1 \cdot 1) d x$

Этап 4.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.12

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.14

Добавим $4$ и $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.15

Умножим $3$ на $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} + 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.17

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.18

Умножим $3$ на $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.19

Умножим $3$ на $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.20

Умножим $1$ на $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 4.21

Умножим $1$ на $1$ .

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

$\int x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{6} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + x + C$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + x + C$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{x^{7}}{7} + \frac{3 x^{5}}{5} + x^{3} + x + C$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{3}{5} x^{5} + x^{3} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$