Математический анализ Примеры

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $100$ в степень $2$ .

$u_{lower} = 1 + 10000$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ и $10000$ .

$u_{lower} = 10001$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $1 + t^{2}$ и в $10001$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 8.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 8.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 8.2.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Этап 8.2.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

Этап 8.2.4.4

Разделим ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.2

Перепишем ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.3

Когда $t$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.4

Найдем предел $10001^{\frac{1}{2}}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

Этап 9.5

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\infty$