Математический анализ Примеры

$\int_{- 1}^{1} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} d x$

Этап 1

Разделим $3 x^{2} + 2 x + 1$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + 6 x$ .

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$

Этап 1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Этап 1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$

Этап 1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$8$

Этап 1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x - 8$ .

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$

Этап 1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x$	-	$4$
$x$	+	$2$		$3 x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$8$
							+	$9$

Этап 1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int_{- 1}^{1} 3 x - 4 + \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{1} 3 x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 4 d x + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \frac{9}{x + 2} d x$

Этап 7

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 8

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 8.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{lower} = - 1 + 2$

Этап 8.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

Этап 8.5

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 \int_{1}^{3} \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 1}^{1} + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 10.2

Найдем значение $- 4 x$ в $1$ и в $- 1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 (\ln (| u |)]_{1}^{3})$

Этап 10.3

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $3$ и в $1$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1 - 1}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$3 (\frac{0}{2}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.5

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$3 \frac{2 (0)}{2} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (\frac{0}{1}) - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.5.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.6

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 4 \cdot 1 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.7

Умножим $- 4$ на $1$ .

$0 - 4 + 4 \cdot - 1 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.8

Умножим $4$ на $- 1$ .

$0 - 4 - 4 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.9

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$0 - 8 + 9 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 10.4.10

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 8 + 9 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |))$

Этап 11

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{| 1 |})$

Этап 12.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 8 + 9 \ln (\frac{3}{1})$

Этап 12.3

Разделим $3$ на $1$ .

$- 8 + 9 \ln (3)$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 8 + 9 \ln (3)$

Десятичная форма:

$1.88751059 \dots$

Этап 14