Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2}}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Этап 1.2

Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Этап 1.3

Поскольку показатель степени $1 - x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{1 - x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2}}{e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} (- 1 \cdot 1)}$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{e^{1 - x} \cdot - 1}$

Этап 3.10

Перенесем $- 1$ влево от $e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- 1 e^{1 - x}}$

Этап 3.11

Перепишем $- 1 e^{1 - x}$ в виде $- e^{1 - x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{- e^{1 - x}}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Этап 5.1.2

Для многочлена нечетной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен минус бесконечности.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} - e^{1 - x}}$

Этап 5.1.3

Поскольку функция $e^{1 - x}$ стремится к $\infty$ , произведение отрицательной константы $- 1$ и функции стремится к $- \infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $- 1$ .

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{1 - x}}$

Этап 5.1.3.2

Поскольку показатель степени $1 - x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{1 - x}$ стремится к $\infty$ .

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Этап 5.1.3.3

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 5.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$2 \frac{- \infty}{- \infty}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{- \infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{- e^{1 - x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- e^{1 - x}]}$

Этап 5.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{1 - x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [e^{1 - x}]}$

Этап 5.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 5.3.4.2

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 5.3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x]}$

Этап 5.3.5

По правилу суммы производная $1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 5.3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Этап 5.3.7

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 5.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{1 - x} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{1 e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.10

Умножим $e^{1 - x}$ на $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 5.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x} \cdot 1}$

Этап 5.3.12

Умножим $e^{1 - x}$ на $1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{1 - x}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{1 - x}}$ стремится к $0$ .

$2 \cdot 0$

Этап 7

Умножим $2$ на $0$ .

$0$