Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 3} \frac{\sin (x - 3) + 14 x + 4}{\sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (x - 3) + 14 x + 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} \sin (x - 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + lim_{x \to 3} 14 x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 6

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 7

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{lim_{x \to 3} \sqrt{x^{2} - 5}}$

Этап 8

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - 5}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 5}}$

Этап 10

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 5}}$

Этап 11

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $3$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 lim_{x \to 3} x + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $3$ для $x$ .

$\frac{\sin (3 - 1 \cdot 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\sin (3 - 3) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{\sin (0) + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 14 \cdot 3 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.4

Умножим $14$ на $3$ .

$\frac{0 + 42 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.5

Добавим $0$ и $42$ .

$\frac{42 + 4}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.1.6

Добавим $42$ и $4$ .

$\frac{46}{\sqrt{3^{2} - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{46}{\sqrt{9 - 1 \cdot 5}}$

Этап 13.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{46}{\sqrt{9 - 5}}$

Этап 13.2.3

Вычтем $5$ из $9$ .

$\frac{46}{\sqrt{4}}$

Этап 13.2.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{46}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 13.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{46}{2}$

Этап 13.3

Разделим $46$ на $2$ .

$23$