Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} + \frac{2}{x + 1}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{4}{x^{2} - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{2}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x^{2} - 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{4}{x^{2} - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{2}{x + 1}$ на $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x^{2} - 1) (x + 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $(x^{2} - 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} + \frac{2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 (x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 1 + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + lim_{x \to - 1} 2 (x^{2} - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{4 (lim_{x \to - 1} x + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.9

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{4 (- 1 + 1) + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + 2 ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.10.1.3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.1.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 + 2 (1 - 1)}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.1.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.1.5

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.2.10.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} (x + 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1 \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Этап 2.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Этап 2.1.3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}$

Этап 2.1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot (lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Этап 2.1.3.5

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1)}$

Этап 2.1.3.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 1} x + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{(- 1 + 1) \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot ({(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Этап 2.1.3.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Этап 2.1.3.8.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.8.4

Умножим $0$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.8.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x^{2} - 1)} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $4 (x + 1) + 2 (x^{2} - 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 (x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 (x + 1)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x + 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.3.6

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 (x^{2} - 1)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 4 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 1)]}$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.11

Перенесем $2$ влево от $x + 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}$

Этап 2.3.12

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Этап 2.3.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)}$

Этап 2.3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1}$

Этап 2.3.16

Умножим $x^{2} - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x + 1) x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.17.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1}$

Этап 2.3.17.3.6

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2.1.3

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + 2 x - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 3.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 3.1.3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 3.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.7.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{3 + 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 2 - 1}$

Этап 3.1.3.7.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.7.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.7.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 3.2

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 2 x - 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.5

Добавим $4$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2 + 0}$

Этап 3.3.10

Добавим $6 x + 2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4}{6 x + 2}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $4$ и $6 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{6 x + 2}$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x) + 2 (1)}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Этап 3.4.2.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \cdot 2}{2 (3 x + 1)}$

Этап 3.4.2.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x + 1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x + 1}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Этап 4.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + 1}$

Этап 4.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 4.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Этап 4.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot - 1 + 1}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$2 \frac{1}{- 3 + 1}$

Этап 6.1.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$2 (\frac{1}{- 2})$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 \frac{1}{2 (- 1)}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- 1}$

Этап 6.3

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- 1$