Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1 + t^{3}} d t$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{1^{3} + t^{3}} d t]$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1^{2} - 1 t + t^{2})} d t]$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - 1 t + t^{2})} d t]$

Этап 1.3.2

Перепишем $- 1 t$ в виде $- t$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t]$

Этап 2

Возьмем производную от $\int_{1}^{3 x + 2} \frac{t}{(1 + t) (1 - t + t^{2})} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2] \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 3

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 + \frac{d}{d x} [2]) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 + 0) \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3$ и $0$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(1 + 3 x + 2) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 \frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 5.2.3

Объединим $3$ и $\frac{3 x + 2}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $(3 x + 3) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})$ .

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (3 x + 2)}{3 ((x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2}))}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x + 2) + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - (3 x) - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 1 \cdot 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 7.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (1 - 3 x - 2 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 7.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3 x + 2}{(x + 1) (- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + {(3 x + 2)}^{2}) (x + 1)}$

Этап 7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем ${(3 x + 2)}^{2}$ в виде $(3 x + 2) (3 x + 2)$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + (3 x + 2) (3 x + 2)) (x + 1)}$

Этап 7.4.2

Развернем $(3 x + 2) (3 x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Этап 7.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) (x + 1)}$

Этап 7.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) (x + 1)}$

Этап 7.4.3.2

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(- 3 x - 1 + 9 x^{2} + 12 x + 4) (x + 1)}$

Этап 7.4.4

Добавим $- 3 x$ и $12 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x - 1 + 9 x^{2} + 4) (x + 1)}$

Этап 7.4.5

Добавим $- 1$ и $4$ .

$\frac{3 x + 2}{(9 x + 9 x^{2} + 3) (x + 1)}$

Этап 7.4.6

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x + 2}{(9 x^{2} + 9 x + 3) (x + 1)}$

Этап 7.4.7

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{2} + 9 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 9 x + 3) (x + 1)}$

Этап 7.4.7.2

Вынесем множитель $3$ из $9 x$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3) (x + 1)}$

Этап 7.4.7.3

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2}) + 3 (3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Этап 7.4.7.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x^{2}) + 3 (3 x)$ .

$\frac{3 x + 2}{(3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)) (x + 1)}$

Этап 7.4.7.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 x^{2} + 3 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 x + 2}{3 (3 x^{2} + 3 x + 1) (x + 1)}$