Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{k^{2}}{k + 1}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$\frac{1^{2}}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{1 + 1} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Этап 2.1.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2^{2}}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Этап 2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{2 + 1} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Этап 2.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{3^{2}}{3 + 1}$

Этап 2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{3 + 1}$

Этап 2.1.6

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{6}{6}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} + \frac{9}{4}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{9}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{2 \cdot 6} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $4 \cdot 3$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Этап 2.2.10

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{6}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 + 4 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{6 + 16 + 9 \cdot 3}{12}$

Этап 2.4.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{6 + 16 + 27}{12}$

Этап 2.5

Добавим $6$ и $16$ .

$\frac{22 + 27}{12}$

Этап 2.6

Добавим $22$ и $27$ .

$\frac{49}{12}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{49}{12}$

Десятичная форма:

$4.08\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{12}$