Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$