Математический анализ Примеры

$9 y^{2} - 16 x^{2} = 144$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $144$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 y^{2}}{144} - \frac{16 x^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Этап 5.3.3

Добавим $16$ и $9$ .

$\sqrt{25}$

Этап 5.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 4)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 4)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h, k \pm a)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(0, 4), (0, - 4)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, 5)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(0, - 5)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(0, 5), (0, - 5)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Этап 8.3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Этап 8.3.3

Добавим $16$ и $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Этап 8.3.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Этап 8.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5}{4}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{3^{2}}{5}$

Этап 9.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{5}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{4}{3} x + 0$

Этап 11

Упростим $\frac{4}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $\frac{4}{3} x$ и $0$ .

$y = \frac{4}{3} x$

Этап 11.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3}$

Этап 12

Упростим $- \frac{4}{3} x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- \frac{4}{3} x$ и $0$ .

$y = - \frac{4}{3} x$

Этап 12.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3}$

Этап 12.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3}$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{4 x}{3}, y = - \frac{4 x}{3}$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(0, 4), (0, - 4)$

Фокусы: $(0, 5), (0, - 5)$

Эксцентриситет: $\frac{5}{4}$

Фокальный параметр: $\frac{9}{5}$

Асимптоты: $y = \frac{4 x}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3}$

Этап 15