Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0^{+}} {\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\cos (x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \ln (\cos (x))}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (\cos (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x}}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{\frac{\ln (\cos (lim_{x \to 0^{+}} x))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (0))}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\cos (x))}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos (x)} \cdot - 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.4

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (x)}}$

Этап 4.4

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0)}{\cos (0)}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos (0)}}$

Этап 6.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$e^{- \frac{0}{1}}$

Этап 6.3

Разделим $0$ на $1$ .

$e^{- 0}$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 6.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$