Математический анализ Примеры

$lim_{z \to 2} \frac{z - 2}{\sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{z \to 2} z - 2}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

$\frac{lim_{z \to 2} z - lim_{z \to 2} 2}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $z$ к $2$ .

$\frac{lim_{z \to 2} z - 1 \cdot 2}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - 1}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z} - lim_{z \to 2} 1}$

Этап 1.1.3.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 2} 3 - z} - lim_{z \to 2} 1}$

Этап 1.1.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 2} 3 - lim_{z \to 2} z} - lim_{z \to 2} 1}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $z$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - lim_{z \to 2} z} - lim_{z \to 2} 1}$

Этап 1.1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $z$ к $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - lim_{z \to 2} z} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 - 2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.1.3.6.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.6.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{z \to 2} \frac{z - 2}{\sqrt{3 - z} - 1} = lim_{z \to 2} \frac{\frac{d}{d z} [z - 2]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{z \to 2} \frac{\frac{d}{d z} [z - 2]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $z - 2$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]$ .

$lim_{z \to 2} \frac{\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 2]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1 + \frac{d}{d z} [- 2]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $z$ , производная $- 2$ относительно $z$ равна $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z} - 1]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{3 - z} - 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d z} [\sqrt{3 - z}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - z}$ в виде ${(3 - z)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d z} [{(3 - z)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ и $g (z) = 3 - z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 - z$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [3 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [3 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 - z$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [3 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $3 - z$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d z} [3] + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.4

Поскольку $3$ является константой относительно $z$ , производная $3$ относительно $z$ равна $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- z$ по $z$ равна $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d z} [z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.12

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.13

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{{(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.15

Объединим $\frac{{(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{{(3 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.16

Перенесем $- 1$ влево от ${(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{- 1 \cdot {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.17

Перепишем $- 1 {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ в виде $- {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{- {(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.18

Перенесем ${(3 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{\frac{- 1}{2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.7.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{z \to 2} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $z$ , производная $- 1$ относительно $z$ равна $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $- \frac{1}{2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{z \to 2} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{z \to 2} 1 (- (2 {(3 - z)}^{\frac{1}{2}}))$

Этап 1.5

Перепишем ${(3 - z)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{3 - z}$ .

$lim_{z \to 2} 1 (- (2 \sqrt{3 - z}))$

Этап 1.6

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{z \to 2} 1 (- 2 \sqrt{3 - z})$

Этап 1.6.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{z \to 2} - 2 \sqrt{3 - z}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $- 2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $z$ .

$- 2 lim_{z \to 2} \sqrt{3 - z}$

Этап 2.2

Внесем предел под знак радикала.

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 2} 3 - z}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $z$ к $2$ .

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 2} 3 - lim_{z \to 2} z}$

Этап 2.4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $z$ к $2$ .

$- 2 \sqrt{3 - lim_{z \to 2} z}$

Этап 2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем предел $z$ , подставив значение $2$ для $z$ .

$- 2 \sqrt{3 - 2}$

Этап 2.5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Этап 2.5.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 2.5.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$