Математический анализ Примеры

$\int (- \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int - \frac{4}{x^{3}} - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{4}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- (4 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 4 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 5.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{8}{x^{5}} d x$

Этап 9

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (8 \int \frac{1}{x^{5}} d x)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 10.2

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 10.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 10.3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 \int x^{- 5} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Этап 12.1.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{2}{x^{2}} - 8 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{2}{x^{2}} + 8 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 12.3.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{8}{4 x^{4}} + C$

Этап 12.3.3

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Этап 12.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 (x^{4})} + C$

Этап 12.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2}{4 x^{4}} + C$

Этап 12.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{4}} + C$