Математический анализ Примеры

$y = {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{3}{4}}$ и $g (x) = 9 x^{2} - 2 x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} u^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x^{2} - 2 x + 2$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.5.2

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{- 7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{4} {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.6.2

Объединим ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ и $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}} \cdot 3}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Перенесем $3$ влево от ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ .

$- \frac{3 \cdot {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.6.3.2

Перенесем ${(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{- \frac{7}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 2 x + 2]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $9$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.11

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.13

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2 + 0)$

Этап 3.15

Добавим $18 x - 2$ и $0$ .

$- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Изменим порядок множителей в $- \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}} (18 x - 2)$ .

$- (18 x - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (18 x) - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.3

Умножим $18$ на $- 1$ .

$(- 18 x - - 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$(- 18 x + 2) \frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.5

Умножим $- 18 x + 2$ на $\frac{3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$ .

$\frac{(- 18 x + 2) \cdot 3}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.6

Вынесем множитель $2$ из $(- 18 x + 2) \cdot 3$ .

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}$ .

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Этап 3.16.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((- 9 x + 1) \cdot 3)}{2 (2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}})}$

Этап 3.16.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 9 x + 1) \cdot 3}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.8

Перенесем $3$ влево от $- 9 x + 1$ .

$\frac{3 \cdot (- 9 x + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x$ .

$\frac{3 (- (9 x) + 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.10

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (9 x) - 1 (- 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.12

Перепишем $- (9 x - 1)$ в виде $- 1 (9 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (9 x - 1))}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 3.16.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 (9 x - 1)}{2 {(9 x^{2} - 2 x + 2)}^{\frac{7}{4}}}$