Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 - 3 x}{3 + x^{2}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 - 3 x$ и $g (x) = 3 + x^{2}$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [2 - 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $2 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) (- 3 \cdot 1) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{(3 + x^{2}) \cdot - 3 - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.6.2

Перенесем $- 3$ влево от $3 + x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 + x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.7

По правилу суммы производная $3 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - (2 - 3 x) (2 x)}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 (3 + x^{2}) - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 (2 - 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} + (- 2 \cdot 2 - 2 (- 3 x)) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 \cdot 3 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x) x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.1.4

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 9 - 3 x^{2} - 4 x + 6 x^{2}}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Добавим $- 3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{- 9 + 3 x^{2} - 4 x}{{(3 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - 4 x - 9}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$