Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5

Добавим $- \sin (x)$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{1}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $- \sin (x)$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} - \sin (x)$

Этап 4.2

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to 0} \sin (x)$

Этап 4.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$- \sin (lim_{x \to 0} x)$

Этап 5

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$- \sin (0)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 0$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0$