Математический анализ Примеры

$\int (5 x^{- 3} - 3 x^{5} + 4 x^{4}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 x^{- 3} - 3 x^{5} + 4 x^{4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x^{- 3} d x + \int - 3 x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 3 x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 5.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 3 x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 6

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 \int x^{5} d x + \int 4 x^{4} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 4 x^{4} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 4 \int x^{4} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$- \frac{5}{2 x^{2}} - \frac{x^{6}}{2} + 4 (\frac{1}{5} x^{5}) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} - \frac{x^{6}}{2} + 4 \frac{x^{5}}{5} + C$

Этап 10.2.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{5}}{5}$ .

$- \frac{5}{2 x^{2}} - \frac{x^{6}}{2} + \frac{4 x^{5}}{5} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{2 x^{2}} - \frac{1}{2} x^{6} + \frac{4}{5} x^{5} + C$