Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{\sqrt[4]{2 x + 5}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[4]{2 x + 5}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x + 5$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[4]{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[4]{u} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt[4]{u}$ .

$3 \int \frac{1}{2 \sqrt[4]{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u)$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Этап 5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Этап 5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{4}}$ по $u$ имеет вид $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{3}{2} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ в виде $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{12}{6} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 \cdot 2}{6 (1)} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 7.2.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 u^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 5$ .

$2 {(2 x + 5)}^{\frac{3}{4}} + C$