Математический анализ Примеры

$\frac{3 + 2 x^{2}}{1 - 5 x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 + 2 x^{2}$ и $g (x) = 1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 + 2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(1 - 5 x^{2}) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $1 - 5 x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (1 - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (1 - 5 x^{2}) (2 x) - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $1 - 5 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x - (3 + 2 x^{2}) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.12

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 5 (3 + 2 x^{2}) (2 x)}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{4 (1 - 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(4 \cdot 1 + 4 (- 5 x^{2})) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 (3 + 2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + (10 \cdot 3 + 10 (2 x^{2})) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \cdot 1 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{2}) x + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x \cdot x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 (x^{1} x^{2})) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{1 + 2}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x + 4 (- 5 x^{3}) + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $10$ на $3$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{2}) x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x \cdot x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 (x^{1} x^{2}))}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{1 + 2})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 10 (2 x^{3})}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.6

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим противоположные члены в $4 x - 20 x^{3} + 30 x + 20 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $- 20 x^{3}$ и $20 x^{3}$ .

$\frac{4 x + 30 x + 0}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $4 x + 30 x$ и $0$ .

$\frac{4 x + 30 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Добавим $4 x$ и $30 x$ .

$\frac{34 x}{{(1 - 5 x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{34 x}{{(- 5 x^{2} + 1)}^{2}}$