Математический анализ Примеры

$\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Тогда $d u_{2} = \sin (2 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sin (2 x)} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = \sin^{2} (x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 4.1.4.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 5

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin^{2} (x)$ .

$e^{\sin^{2} (x)} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (2 x) \cdot e^{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\sin^{2} (x)} + C$