Математический анализ Примеры

$\int (\frac{3 w^{2}}{2} - \frac{2}{3 w^{2}}) d w$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{3 w^{2}}{2} - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3 w^{2}}{2} d w + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int w^{2} d w + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Этап 4

По правилу степени интеграл $w^{2}$ по $w$ имеет вид $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) + \int - \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \int \frac{2}{3 w^{2}} d w$

Этап 6

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $w$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - (\frac{2}{3} \int \frac{1}{w^{2}} d w)$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $w^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int {(w^{2})}^{- 1} d w$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(w^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int w^{2 \cdot - 1} d w$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} \int w^{- 2} d w$

Этап 8

По правилу степени интеграл $w^{- 2}$ по $w$ имеет вид $- w^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{3} w^{3} + C) - \frac{2}{3} (- w^{- 1} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{6} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{6} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} w^{3} - \frac{2}{3} (- w^{- 1}) + C$

Этап 9.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + 1 (\frac{2}{3}) w^{- 1} + C$

Этап 9.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2}{3} w^{- 1} + C$

Этап 9.2.6

Объединим $\frac{2}{3}$ и $w^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2 w^{- 1}}{3} + C$

Этап 9.2.7

Перенесем $w^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} w^{3} + \frac{2}{3 w} + C$