Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{\sin (20 x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{\sin (20 x)})$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Переведем $\frac{1}{\sin (20 x)}$ в $\csc (20 x)$ .

$\frac{d}{d y} [\csc (20 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \csc (y)$ и $g (y) = 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $20 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d y} [20 x]$

Этап 3.2.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d y} [20 x]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $20 x$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [20 x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $20$ является константой относительно $y$ , производная $20 x$ по $y$ равна $20 \frac{d}{d y} [x]$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) (20 \frac{d}{d y} [x])$

Этап 3.3.2

Умножим $20$ на $- 1$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [x]$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d y} [x]$ в виде $x'$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$

Этап 3.5

Изменим порядок множителей в $- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$1 = - 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Этап 5

Решим относительно $x'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$

Этап 5.2

Разделим каждый член $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ на $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разделим каждый член $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ на $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ .

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель $\cot (20 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель $\csc (20 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.2.3.2

Разделим $x'$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Разделим дроби.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\cot (20 x)}$

Этап 5.2.3.2

Выразим $\cot (20 x)$ через синусы и косинусы.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}}$

Этап 5.2.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$

Этап 5.2.3.4

Переведем $\frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$ в $\tan (20 x)$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.5

Разделим дроби.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\csc (20 x)} \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.6

Выразим $\csc (20 x)$ через синусы и косинусы.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (20 x)}} \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20} (1 \sin (20 x)) \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.8.1

Умножим $\sin (20 x)$ на $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x' = - \frac{1}{20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.9

Объединим $\sin (20 x)$ и $\frac{1}{20}$ .

$x' = - \frac{\sin (20 x)}{20} \tan (20 x)$

Этап 5.2.3.10

Объединим $\tan (20 x)$ и $\frac{\sin (20 x)}{20}$ .

$x' = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$

Этап 6

Заменим $x'$ на $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$