Математический анализ Примеры

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $t = \frac{1}{2}$ и $y = 8$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 3 t^{- 4}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{t^{4}}$

Этап 1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{t^{4}}$ .

$\frac{- 3}{t^{4}}$

Этап 1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{t^{4}}$

Этап 1.3

Найдем производную в $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{{(\frac{1}{2})}^{4}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{\frac{1^{4}}{2^{4}}}$

Этап 1.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{3}{\frac{1}{2^{4}}}$

Этап 1.4.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$- \frac{3}{\frac{1}{16}}$

Этап 1.4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (3 \cdot 16)$

Этап 1.4.3

Умножим $- (3 \cdot 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $3$ на $16$ .

$- 1 \cdot 48$

Этап 1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $48$ .

$- 48$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 48$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{2}, 8)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 48 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 8 = 0 + 0 - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 8 = - 48 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 8 = - 48 x - 48 (- \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 8 = - 48 x - 48 (\frac{- 1}{2})$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 48$ .

$y - 8 = - 48 x + 2 (- 24) \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 8 = - 48 x + 2 \cdot - 24 \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 8 = - 48 x - 24 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$y - 8 = - 48 x + 24$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y = - 48 x + 24 + 8$

Этап 2.3.2.2

Добавим $24$ и $8$ .

$y = - 48 x + 32$

Этап 3