Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} (\frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $4$ и в $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Этап 9.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{4}$

Этап 9.3

Найдем значение $2 x$ в $4$ и в $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.3

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.3.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 16) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.5

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 16 (\frac{1}{4})) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.6

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 16}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.7

Сократим общий множитель $- 16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 4}{1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.7.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 4) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.8

Вычтем $4$ из $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot 60 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $60$ .

$\frac{60}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.10

Сократим общий множитель $60$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{30}{1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.10.2.4

Разделим $30$ на $1$ .

$30 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.11

Возведем $4$ в степень $2$ .

$30 - 3 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.12

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - 3 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.12.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.14

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$30 - 3 (8 - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.14.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$30 - 3 (8 - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$30 - 3 (8 - 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.16

Вычтем $2$ из $8$ .

$30 - 3 \cdot 6 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.17

Умножим $- 3$ на $6$ .

$30 - 18 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.18

Вычтем $18$ из $30$ .

$12 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.19

Умножим $2$ на $4$ .

$12 + 8 - 2 \cdot 2$

Этап 9.4.20

Умножим $- 2$ на $2$ .

$12 + 8 - 4$

Этап 9.4.21

Вычтем $4$ из $8$ .

$12 + 4$

Этап 9.4.22

Добавим $12$ и $4$ .

$16$

Этап 10