Математический анализ Примеры

$\int e^{x^{2} + 4 x + 3} (x + 2) d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Тогда $d u = (2 x + 4) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 4 x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$2 x + 4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} e^{x^{2} + 4 x + 3} + C$