Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{3} - 15 x = x$

Этап 1.2

Решим $x^{3} - 15 x = x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Этап 1.2.1.2

Вычтем $x$ из $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Этап 1.2.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Этап 1.2.2.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Этап 1.2.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Этап 1.2.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.6

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 4) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 4$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.3.2

Избавимся от скобок.

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$y = - 4$

Этап 1.4.2

Избавимся от скобок.

$y = - 4$

Этап 1.5

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 4$

Этап 1.5.2

Избавимся от скобок.

$y = 4$

Этап 1.6

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 16$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 3.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4}$ в $0$ и в $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Этап 3.7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.3

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.4

Умножим $256$ на $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.5

Объединим $- 256$ и $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6

Сократим общий множитель $- 256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.6.2.4

Разделим $- 64$ на $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.7

Вычтем $64$ из $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.7.2.3.10

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Этап 3.7.2.3.11

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 3.7.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 3.7.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 3.7.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Этап 3.7.2.3.11.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Этап 3.7.2.3.12

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Этап 3.7.2.3.13

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Этап 3.7.2.3.14

Умножим $- 16$ на $- 8$ .

$- 64 + 128$

Этап 3.7.2.3.15

Добавим $- 64$ и $128$ .

$64$

Этап 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Этап 5.2.2

Умножим $- 15$ на $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Этап 5.3

Добавим $x$ и $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Этап 5.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Этап 5.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Этап 5.7

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Этап 5.8

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Этап 5.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.10.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $4$ и в $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Этап 5.10.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.2

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.2.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.6

Добавим $64$ и $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.7

Умножим $- 1$ на $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.9

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.9.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 5.10.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Этап 5.10.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 5.10.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.10.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 5.10.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Этап 5.10.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Этап 5.10.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Этап 5.10.2.3.13

Добавим $8$ и $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Этап 5.10.2.3.14

Умножим $16$ на $8$ .

$- 64 + 128$

Этап 5.10.2.3.15

Добавим $- 64$ и $128$ .

$64$

Этап 6

Добавим $64$ и $64$ .

$128$

Этап 7