Математический анализ Примеры

$x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Этап 1

Запишем $x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot e^{\frac{x}{3}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{\frac{x}{3}}$ .

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - \int 3 e^{\frac{1}{3} x} d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x (3 e^{\frac{1}{3} x}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{1}{3} x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - (3 \int e^{\frac{x}{3}} d x)$

Этап 6.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{\frac{x}{3}} d x$

Этап 7

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 7.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} (1 \cdot 3) d u$

Этап 8.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int e^{u} \cdot 3 d u$

Этап 8.3

Перенесем $3$ влево от $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 \int 3 e^{u} d u$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 3 (3 \int e^{u} d u)$

Этап 10

Умножим $3$ на $- 3$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 \int e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$

Этап 12

Перепишем $x (3 e^{\frac{x}{3}}) - 9 (e^{u} + C)$ в виде $3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$3 x e^{\frac{x}{3}} - 9 e^{\frac{x}{3}} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot e^{\frac{x}{3}}$ .

$F (x) =$ $3 x e^{\frac{1}{3} x} - 9 e^{\frac{1}{3} x} + C$