Математический анализ Примеры

$\int_{2}^{4} d x \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Этап 1

Найдем значение $\int_{2}^{4} d x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x]_{2}^{4} \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Этап 1.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем значение $x$ в $4$ и в $2$ .

$((4) - 2) \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Этап 1.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$2 \int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$

Этап 2

Найдем значение $\int_{x}^{2 x} \frac{y}{3 x} d y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{3 x}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{3 x}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3 x} \int_{x}^{2 x} y d y)$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{1}{2} y^{2}]_{x}^{2 x})$

Этап 2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x})$

Этап 2.3.1.2

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}$ .

$2 \frac{\frac{y^{2}}{2}]_{x}^{2 x}}{3 x}$

Этап 2.3.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $2 x$ и в $x$ .

$2 \frac{(\frac{{(2 x)}^{2}}{2}) - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{\frac{{(2 (x))}^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.2

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$2 \frac{\frac{2^{2} x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{\frac{2 x^{2}}{1} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.4.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$2 \frac{2 x^{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.5

Чтобы записать $2 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.6

Объединим $2 x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{\frac{2 x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$2 \frac{\frac{4 x^{2} - x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.9

Вычтем $x^{2}$ из $4 x^{2}$ .

$2 \frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$

Этап 2.3.2.2.10

Перепишем $\frac{\frac{3 x^{2}}{2}}{3 x}$ в виде произведения.

$2 (\frac{3 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{3 x})$

Этап 2.3.2.2.11

Умножим $\frac{3 x^{2}}{2}$ на $\frac{1}{3 x}$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (3 x)}$

Этап 2.3.2.2.12

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{6 x}$

Этап 2.3.2.2.13

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{6 x}$

Этап 2.3.2.2.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.13.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$2 \frac{3 (x^{2})}{3 (2 x)}$

Этап 2.3.2.2.13.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 x^{2}}{3 (2 x)}$

Этап 2.3.2.2.13.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{x^{2}}{2 x}$

Этап 2.3.2.2.14

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.14.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$2 \frac{x \cdot x}{2 x}$

Этап 2.3.2.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.14.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x \cdot x}{x \cdot 2}$

Этап 2.3.2.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{x}{2}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$2 (\frac{1}{2} x)$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$2 \frac{x}{2}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2 x}{2}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2}$

Этап 3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x$