Математический анализ Примеры

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Этап 4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Этап 5

Пусть $u = y + 9$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = y + 9$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $y + 9$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Этап 5.1.4

Поскольку $9$ является константой относительно $y$ , производная $9$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Этап 5.3

Добавим $- 8$ и $9$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $y$ в $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Этап 5.5

Добавим $0$ и $9$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Этап 8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\frac{1}{2} y^{2}$ в $0$ и в $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Этап 8.2

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.3

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.4

Умножим $64$ на $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.5

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6

Сократим общий множитель $- 64$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.6.2.4

Разделим $- 32$ на $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.7

Вычтем $32$ из $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.8

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9

Сократим общий множитель $- 32$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.1

Вынесем множитель $8$ из $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.9.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.9.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.10

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.11

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.12.1

Сократим общий множитель.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.12.2

Перепишем это выражение.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.13

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.14

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.15

Умножим $2$ на $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.16.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.16.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Этап 8.3.17

Единица в любой степени равна единице.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 8.3.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Этап 8.3.19

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 8.3.20

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Этап 8.3.21

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Этап 8.3.22

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.22.1

Умножим $18$ на $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Этап 8.3.22.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Этап 8.3.23

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Этап 8.3.24

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Этап 8.3.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Этап 8.3.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.26.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Этап 8.3.26.2

Добавим $- 12$ и $52$ .

$\frac{40}{3}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{40}{3}$

Десятичная форма:

$13.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$13 \frac{1}{3}$

Этап 10