Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 1.3.2

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Этап 1.3.3

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Этап 1.3.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sin (2 x) = 0$

Этап 4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (0)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 x = 0$

Этап 6

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 x = π + 0$

Этап 8.1.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 x = π$

Этап 8.2

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $2 x = π$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 9

Решение уравнения $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (0))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \cos (0)$

Этап 11.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 11.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 12

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Этап 13.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 14

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Этап 15.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cos (π)$

Этап 15.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0))$

Этап 15.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1$

Этап 15.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2$

Этап 16

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 17

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Этап 17.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Этап 17.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(\frac{π}{2}, 1)$ — локальный максимум

Этап 19