Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{5}{2}} \frac{6 x^{2} + 11 x - 10}{8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 6 x^{2} + 11 x - 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{5}{2}} 11 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 5

Вынесем член $11$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 6

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - 18 x - 5}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{lim_{x \to - \frac{5}{2}} 8 x^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

Этап 8

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 18 x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

Этап 10

Вынесем член $18$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - lim_{x \to - \frac{5}{2}} 5}$

Этап 11

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{6 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 12

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{5}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{5}{2}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 12.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{5}{2}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(lim_{x \to - \frac{5}{2}} x)}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 12.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{5}{2}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 lim_{x \to - \frac{5}{2}} x - 1 \cdot 5}$

Этап 12.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{5}{2}$ для $x$ .

$\frac{6 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\frac{6 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{6 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{6 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{6 \frac{25}{2^{2}} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{6 (\frac{25}{4}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (3) \frac{25}{4} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.6.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 3 \frac{25}{2 \cdot 2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (\frac{25}{2}) + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.7

Объединим $3$ и $\frac{25}{2}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 25}{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.8

Умножим $3$ на $25$ .

$\frac{\frac{75}{2} + 11 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.9

Умножим $11 (- \frac{5}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{\frac{75}{2} - 11 (\frac{5}{2}) - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.9.2

Объединим $- 11$ и $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\frac{75}{2} + \frac{- 11 \cdot 5}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.9.3

Умножим $- 11$ на $5$ .

$\frac{\frac{75}{2} + \frac{- 55}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{75}{2} - \frac{55}{2} - 1 \cdot 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.11

Умножим $- 1$ на $10$ .

$\frac{\frac{75}{2} - \frac{55}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{75 - 55}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.13

Вычтем $55$ из $75$ .

$\frac{\frac{20}{2} - 10}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.14

Чтобы записать $- 10$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{20}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.15

Объединим $- 10$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{20}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{20 - 10 \cdot 2}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.17.1

Умножим $- 10$ на $2$ .

$\frac{\frac{20 - 20}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.17.2

Вычтем $20$ из $20$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.1.18

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{0}{8 {(- \frac{5}{2})}^{2} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{8 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{0}{8 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.3

Умножим $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{0}{8 \frac{5^{2}}{2^{2}} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{0}{8 \frac{25}{2^{2}} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{0}{8 (\frac{25}{4}) - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{0}{4 (2) \frac{25}{4} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{4 \cdot 2 \frac{25}{4} - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{2 \cdot 25 - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.7

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{0}{50 - 18 (- \frac{5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{2}$ в числитель.

$\frac{0}{50 - 18 (\frac{- 5}{2}) - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{0}{50 + 2 (- 9) \frac{- 5}{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{50 + 2 \cdot - 9 \frac{- 5}{2} - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{50 - 9 \cdot - 5 - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.9

Умножим $- 9$ на $- 5$ .

$\frac{0}{50 + 45 - 1 \cdot 5}$

Этап 13.2.10

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{0}{50 + 45 - 5}$

Этап 13.2.11

Добавим $50$ и $45$ .

$\frac{0}{95 - 5}$

Этап 13.2.12

Вычтем $5$ из $95$ .

$\frac{0}{90}$

Этап 13.3

Разделим $0$ на $90$ .

$0$