Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 4

Разделим $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ на $x^{2} + 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 4.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Этап 4.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 4.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 4.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Этап 4.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 4.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 4.8

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 4.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 4.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Этап 4.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Этап 10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Этап 11

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Этап 11.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 11.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 11.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 11.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 11.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Этап 11.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 11.1.5

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 11.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 11.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.1

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 11.1.6.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Этап 11.1.6.2

Сократим общий множитель ${(x + 1)}^{2}$ и $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.2.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Этап 11.1.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.2.2.1

Умножим на $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 11.1.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Этап 11.1.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Этап 11.1.6.2.2.4

Разделим $B (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Этап 11.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Этап 11.1.6.4

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A + B x + B$

Этап 11.1.7

Изменим порядок $A$ и $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Этап 11.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 11.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 11.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Этап 11.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Этап 11.3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $1 = A + B$ на $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Этап 11.3.2.2

Упростим $1 = A + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1.1

Избавимся от скобок.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Этап 11.3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.2.1

Добавим $A$ и $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Этап 11.3.3

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Этап 11.3.4

Решим систему уравнений.

$A = 1 B = 0$

Этап 11.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 0$

Этап 11.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Разделим $0$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Этап 11.5.2

Удалим ноль из выражения.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 12

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 12.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 12.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 12.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 12.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 13

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 13.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 13.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Этап 15.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$