Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.1.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{4 \ln (2 lim_{x \to - 3} x + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{4 \ln (2 \cdot - 3 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 6 + 7)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 2 \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to - 3} \tan (- 6 - 2 x)}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{2 \tan (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Этап 1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 1.3.1.4

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 1.3.1.5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 - 2 \cdot - 3)}$

Этап 1.3.3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{0}{2 \tan (- 6 + 6)}$

Этап 1.3.3.2

Добавим $- 6$ и $6$ .

$\frac{0}{2 \tan (0)}$

Этап 1.3.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0}$

Этап 1.3.3.4

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (2 x + 7)}{2 \tan (- 6 - 2 x)} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (2 x + 7)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 7)]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 2 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{2 x + 7}$ и $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \frac{d}{d x} [2 x + 7]}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $2 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + \frac{d}{d x} [7])}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.9

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.10

Добавим $2$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 x + 7} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.11

Объединим $\frac{4}{2 x + 7}$ и $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot 2}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.12

Умножим $4$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{\frac{d}{d x} [2 \tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.13

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \tan (- 6 - 2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \frac{d}{d x} [\tan (- 6 - 2 x)]}$

Этап 3.14

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Этап 3.14.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Этап 3.14.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 6 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 (\sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x])}$

Этап 3.15

Избавимся от скобок.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 6 - 2 x]}$

Этап 3.16

По правилу суммы производная $- 6 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Этап 3.17

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])}$

Этап 3.18

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Этап 3.19

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{2 \sec^{2} (- 6 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 3.20

Умножим $- 2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x) \cdot 1}$

Этап 3.22

Умножим $- 4$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{8}{2 x + 7}}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{2 x + 7} \cdot \frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{8}{2 x + 7}$ на $\frac{1}{- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{8}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $(2 x + 7) (- 4 \sec^{2} (- 6 - 2 x))$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (2)}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Этап 5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \cdot 2}{4 ((2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x)))}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Этап 6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 x + 7) (- \sec^{2} (- 6 - 2 x))}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 8

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \cdot - 1 \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 9

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} (2 x + 7) \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 10

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - 3} 2 x + 7 \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 11

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 12

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 13

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot lim_{x \to - 3} \sec^{2} (- 6 - 2 x)}$

Этап 14

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (- 6 - 2 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot {(lim_{x \to - 3} \sec (- 6 - 2 x))}^{2}}$

Этап 15

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to - 3} - 6 - 2 x)}$

Этап 16

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- lim_{x \to - 3} 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 17

Найдем предел $6$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - lim_{x \to - 3} 2 x)}$

Этап 18

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 lim_{x \to - 3} x + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Этап 19

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 3} x)}$

Этап 19.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$2 \frac{1}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Этап 20

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- (2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)}$

Этап 20.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{1}{(2 \cdot - 3 + 7) \cdot \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{(- 6 + 7) \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$2 (- \frac{1}{1 \sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2.3

Умножим $\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)$ на $1$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 1 \cdot 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 1 \cdot 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2.4.2

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 - 2 \cdot - 3)})$

Этап 20.2.4.2.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (- 6 + 6)})$

Этап 20.2.5

Добавим $- 6$ и $6$ .

$2 (- \frac{1}{\sec^{2} (0)})$

Этап 20.2.6

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 (- \frac{1}{1^{2}})$

Этап 20.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$2 (- \frac{1}{1})$

Этап 20.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{1}{1})$

Этап 20.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 20.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1$

Этап 20.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2$