Математический анализ Примеры

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 6$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 6$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 2.1.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Этап 3

Развернем $(u - 6) u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Этап 6

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Этап 8

Упростим.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$