Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \arccos (x)$ и $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Этап 2

Объединим $x$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 4.2

Умножим $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ на $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 1 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 5.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 5.5.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Этап 5.5.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Этап 5.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 5.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Этап 5.5.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 6.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 9

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 9.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 9.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 9.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 9.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\arccos (x) x$ в $\frac{1}{2}$ и в $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Этап 11.2

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $\frac{3}{4}$ и в $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $\arccos (\frac{1}{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3.3

Умножим $0$ на $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3.4

Добавим $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ и $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Этап 11.3.5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Этап 11.3.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Этап 11.3.7

Чтобы записать $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.3.8

Объединим $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Этап 11.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Этап 11.3.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.11

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.12

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 11.3.12.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.2.4

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Этап 12.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Этап 12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Этап 12.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Этап 12.1.5

Чтобы записать $- 3^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.6

Объединим $- 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.8.1

Перенесем $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8.2

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.8.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.8.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Этап 12.1.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Этап 12.1.10

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Этап 12.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Этап 12.1.12

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Этап 12.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Этап 12.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Десятичная форма:

$0.65757337 \dots$