Математический анализ Примеры

$y = {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = a + \frac{b}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $a + \frac{b}{x^{2}}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [a + \frac{b}{x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $a + \frac{b}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Этап 2.2

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{b}{x^{2}}]$

Этап 2.4

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{b}{x^{2}}$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}])$

Этап 2.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}])$

Этап 2.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}])$

Этап 2.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$3 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (- 2 x^{- 3}))$

Этап 2.7

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b (x^{- 3}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} (b \frac{1}{x^{3}})$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $b$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2} \frac{b}{x^{3}}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{b}{x^{3}}$ и $- 6$ .

$\frac{b \cdot - 6}{x^{3}} {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{b \cdot - 6}{x^{3}}$ и ${(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}$ .

$\frac{b \cdot - 6 {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.2.4

Перенесем $- 6$ влево от $b$ .

$\frac{- 6 \cdot b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 b {(a + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы записать $a$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2}}{x^{2}} + \frac{b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{6 b {(\frac{a x^{2} + b}{x^{2}})}^{2}}{x^{3}}$

Этап 3.3.3

Применим правило умножения к $\frac{a x^{2} + b}{x^{2}}$ .

$- \frac{6 b \frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Объединим $6$ и $\frac{{(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{b \frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.4.2

Объединим $b$ и $\frac{6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{\frac{b (6 {(a x^{2} + b)}^{2})}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.5

Избавимся от ненужных скобок.

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{{(x^{2})}^{2}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{2 \cdot 2}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\frac{b \cdot 6 {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Этап 3.3.7

Перенесем $6$ влево от $b$ .

$- \frac{\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}}}{x^{3}}$

Этап 3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (\frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{x^{3}})$

Этап 3.5

Объединим.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4} x^{3}}$

Этап 3.6

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{4 + 3}}$

Этап 3.6.2

Добавим $4$ и $3$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2} \cdot 1}{x^{7}}$

Этап 3.7

Умножим $6 b {(a x^{2} + b)}^{2}$ на $1$ .

$- \frac{6 b {(a x^{2} + b)}^{2}}{x^{7}}$