Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Этап 3

Развернем $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.5

Упростим.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

Этап 3.10

Перенесем $2$ .

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

Этап 9.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$