Математический анализ Примеры

$0 = - x^{3} + y^{3} - x^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- x^{3} + y^{3} - x^{2})$

Этап 2

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + y^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (2 x)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$0 = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $3 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' - 2 x = 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $2 x$ к обеим частям уравнения.

$3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ на $3 y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ на $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$