Математический анализ Примеры

$y = 2 \sqrt[5]{x^{2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = 2 x^{\frac{2}{5}}$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{2}{5}})$

Этап 3

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 4

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{2}{5}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{5}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$2 \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 4.9

Объединим $2$ и $\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{2 (2 x^{- \frac{3}{5}})}{5}$

Этап 4.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 4.10.2

Перенесем $x^{- \frac{3}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{5 x^{\frac{3}{5}}}$